二、相关系数的计算及假设检验

（一）相关系数计算法

计算相关系数的基本公式为：

（9.1）

式（9.1）中r为相关系数，∑（X-X）²为X的离均差平方和，∑（Y-Y）²为Y的离均差平方和，∑（X-X）（Y-Y）为X与Y的离均差乘积之和，简称离均差积之和，此值可正可负。以此式为基础计算相关系数的方法称积差法，在实际应用时式（9.1）中各离均差平方和（简称差方和）与积之和可化为

（9.2）

现举例说明计算相关系数的一般步骤：

例9.1　测定15名健康成人血液的一般凝血酶浓度（单位/毫升）及血液的凝固时间（秒），测定结果记录于表9.1第（2）、（3）栏，问血凝时间与凝血酶浓度间有无相关？

1．绘图，将表9.1第（2）、（3）栏各对数据绘成散点图，见图9.9。

2．求出∑X、∑Y、∑X²、∑Y²、∑XY，见表9.1下方。

3，代入公式，求出r值。

图9.9　凝血时间与凝血酶浓度散点图及回归直线

表9.1　相关系数计算表

受试者号 （1）	凝血酶浓度(单位/毫升) X （2）	凝血时间(秒) Y （3）
1	1.1	14
2	1.2	13
3	1.0	15
4	0.9	15
5	1.2	13
6	1.1	14
7	0.9	16
8	0.9	15
9	1.0	14
10	0.9	16
11	1.1	15
12	0.9	16
13	1.1	14
14	1.0	15
15	0.8	17
合计	15.1	222

∑X=15.1　∑Y=222
　　　　　　∑XY=221.7　
∑X²=15.41∑Y²=3304　　　

本例的相关系数r=-0.9070，负值表示血凝时间随凝血酶浓度的增高而缩短；绝对值∣-0.9070∣表示这一关系的密切程度。至于此相关系数是否显著，则要经过下面的分析。

（二）相关系数的假设检验

虽然样本相关系数r可作为总体相关系数ρ的估计值，但从相关系数ρ=0的总体中抽出的样本，计算其相关系数r，因为有抽样误差，故不一定是0，要判断不等于0的r值是来自ρ=0的总体还是来自ρ≠0的总体，必须进行显著性检验。检验假设是ρ=0，r与0的差别是否显著要按该样本来自ρ=0的总体概率而定。如果从相关系数ρ=0的总体中取得某r值的概率P>0.05，我们就接受假设，认为此r值的很可能是从此总体中取得的。因此判断两变量间无显著关系；如果取得r值的概率P≤0.05或P≤0.01，我们就在α=0.05或α=0.01水准上拒绝检验假设，认为该r值不是来自ρ=0的总体，而是来自ρ≠0的另一个总体，因此就判断两变量间有显著关系。

由于来自ρ-0的总体的所有样本相关系数呈对称分布，故r的显著性可用t检验来进行。本例r=-0.9070，进行t检验的步骤为：

1．建立检验假设，H₀：ρ=0，H₁：ρ≠0，α=0.01

2．计算相关系数的r的t值：

（9.3）

3．查t值表作结论

ν=n-2=15-2=13

根据专业知识知道凝血酶浓度与凝血时间之间不会呈正相关，故宜用单侧界限，查t值表得

t_0.01,13=2.650

今∣t_r∣>t_0.01,13，P<0.01，在α=0.01水准上拒绝H₀，接受H₁，故可认为凝血时间的长短与血液中酶浓度有负相关。

为简化t_r检验的计算过程，数理统计工作者根据t分配表，已把不同自由度时r的临界值求出，并列成相关系数界值表（见附表11）。故求相关系数后，只需查表就可知道该r值是否显著，而不必再计算t_r值。

r的显著性界限为

|r|<R_0.05,ν　P>0.05　相关不显著

r_0.05,,≤|r|<_r0.01,,　0.05≥P>0.01

在α=0.05水准上相关显著

|r|≥r_0.01,,　P≤0.01　在α=0.01水准上相关显著

例9.1的ν =15-2=13，查附表11中P^（1）的界值，得：

r_0.05,13=0.441r_0.01,13=0.592

现r=-0.9070,∣r∣>r_0.01,13,P<0.01,按α=0.01水准，拒绝H_O,接受H₁。认为ρ≠0，说明凝血时间的长短与血液中凝血酶浓度有负相关。结论与计算所得一致。

相关系数的显著性与自由度的大小有关，如n=3,ν=1时，虽r=-0.9070，却为不显著；若ν=400时，即使r=0.1000，亦为显著。因此不能只看r的值，不考虑ν就下结论。