一、两个率的比较

（一）X²检验的基本公式　下页末行的例3.1是两组心肌梗塞病人病死率的比较，见表3.5，其中对照组未用抗凝药。两组病人的病死率不同，抗凝药组为25.33%，对照组为40.8%。造成这种不同的原因可能有两种：一种是仅由抽样误差所致；另一种是两个总体病死率确实有所不同。为了区别这两种情况，应当进行X²检验。其基本步骤如下：

1．首先将资料写成四格表形式，如表3.6。

将每个组的治疗人数分为死亡与生存两部分，各占四格表中的一格，这些数字称为实际频数，符号为A，即实际观察得来的数字。

2.建立检验假设　为了进行检验，首先作检验假设：两种疗法的两总体病死率相等，为35%（即70/200），记为H₀：π₁=π₂。即不论用或不用抗凝药，病死率都是35%，所以亦可以换一种说法：病死率与疗法无关。

上述假设经过下面步骤的检验后，可以被接受也可以被拒绝。当H₀被拒绝时，就意味着接受其对立假设即备择假设H₁。此例备择假设为两总体病死率不相等，记为H₁：π₁≠π₂

因为我们观察的是随机现象，所以无论是接受或拒绝H₀都冒有一定风险，即存在着错判的可能性。一般要求，当错误地被拒绝的概率α不超过一定的数值，如5%（或0.05），此值称为检验水准，记为α=0.05。

3．计算理论频数　根据“检验假设”推算出来的频数称理论频数，符号为T。计算方法如下：假设两总体病死率相同，都是35.0%，那么抗凝血组治疗75人，其死亡的理论频数应为75×35.0%=26.25人，而生存的理论频数为75-26.25=48.75人。用同样方法可求出对照组的死亡与生存的理论频数，前者为43.75人。后者为81.25人。然后，把这些理论频数填入相应的实际频数格内，见表3.6括号内数字。

计算理论频数也可用下式（3.4）

T_RC=n_Rn_C/N(3.4)

式中，T_RC为R行与C列相交格子的理论频数，n_R为与计算的理论频数同行的合计数，n_C为与该理论频数同列的合计数，N为总例数。

例如；表3.6第一行与第一列相交格子的理论频数（T₁_１）为

T₁_１＝75×70/200=26.25

用两种方法计算，结果是相同的。

4．计算χ²值，计算χ²值的基本公式为：

X²=∑（A-T）²/t　（3.5）

式中，A为实际频数，T为理论频数，∑为求和符号。

将表3.6里的实际频数与理论频数代入式（3.5）即求得χ²值。此例χ²=4.929。

从式3.5中可看出，实际频数与理论频数之差（A-T）愈小，所得的χ²值就愈小，理论频数是根据检验假设推算出来的，若与实际频数相差不大，说明假设与实际情况符合，于是就接受H₀，认为两病死率无显著差别；反之，若（A-T）大，则χ²值亦大，说明假设与实际不符，就拒绝假设，认为两病死率有差别。但χ²值大还是小，要有一个比较的标准，要查χ²值表（附表1），查χ²值表前先要定自由度。

5．求自由度　自由度是数学上的一个名词。在统计中，几个数据不受任何条件（如统计量，即样本特征数）的限制，几个数据就可以任意指定，称为有几个自由度。若受到P个条件限制，就只有n-p个自由度了。例如在四格表中有四个实际频数，如没有任何条件限制，则4个数字都可任意取值，有4个自由度，当a+b,，c+d，a+c，b+d都固定后，在a、b、c、d四个实际频数中，只能有一个频数可任意指定了，因此，四格表的自由度为1。其计算公式为：

ν=（R-1）（C-1）（3.6）

式中，ν为自由度，R为横行数，C为纵列数。

四格表有2行和2列（注意：总计与合计栏不算在内）。因此ν=(2-1)(2-1)=1。

6．求P值，作结论　根据自由度查χ²值表（附表1）。此表的左侧ν为自由度，表内数字χ²值，表的上端P是从同一总体中抽得此样本χ²值的概率。三者关系是：在同一自由度下，χ²值越大，从同一总体中抽得此样本的概率P值越小；在同一P值下，自由度越大，χ²值也越大。χ²值与概率P呈相反的关系。χ²检验的常用界值为：

χ²<χ²_0.05_（）P>0.05 在α=0.05水准处接受H₀，差别不显著

χ²_0.05≤χ²<χ²_0.01()0.05≥P>0.01在α=0.05水准处拒绝H_O，接受H₁，差别显著

χ²≥χ²_0.01_（）P≤0.01 在α=0.01水准处拒绝H_O，接受H₁，差别显著

这里α是预定的检验水准。χ²_0.05_（）是当自由度为ν时与P=0.05相对应的χ²值，简称5%点，χ²_0.01_（）是与P=0.01相对应的χ² 值，简称1%点。

当ν=1时，χ²_0.05_（1）3.84，χ²_0.01_（1）=6.63。本例自由度为1，求得χ²=4.929,介于3.84与6.63之间，或写成χ²_0.05_（1）<χ²<χ²_0.01_（1）。由于与3.84对应的纵行P=0.05，与6.63对应的纵行P=0.01，因此与样本χ²=4.929相应的概率介于0.05与0.01之间，写成0.05>P>0.01。在α=0.05水准处拒绝H₀，接受H₁，两总体率不等。对照组的病死率较抗凝血组高。

在α=0.05水准处拒绝H₀，说明若在同样情况下作100次判断，将有5次或不到5次的机会，将原没有差别的两总体率错判为有差别，或说这样判断犯I型错误的概率不超过5%。

下面将实例的检验步骤集中列出。

例3.1　两组心肌梗塞病人的病死率可见于表3.5，其中对照组未用抗凝药。抗凝血组病死率为25.33%，对照组为40.80%，问两组病死率有无显著差别？

表3.5　两组心肌梗塞病人病死率比较

组别	治疗人数	死亡人数	病死率（%）
抗凝血组	75	19	25.33
对照组	125	51	40.80
总计	200	70	35.00

检验步骤如下：

1．将资料列成四格表形式，如表3.6。

表3.6　四格表式样

	死亡	生存	合计
抗凝血组	19(26.25)	56(48.75)	75
对照组	51（43.75）	74(81.25)	125
总计	70	130	200

2．H₀：两疗法的总体病死率相同，即_π1=_π2

H₁：两疗法的总体病死率不同，即_π1≠_π2

α=0.05

3．求理论频数

抗凝血组：

死亡人数为75×35.0%=26.25人

存活人数为75-26.25=48.75人

对照组：

死亡人数为125×35.0%=43.75人

存活人数为125-43.75=81.25人

把理论频数填入相对应的实际频数格内，见表3.6括号内数字。

4．求χ²值将表3.6里的数值代入式（3.5）得，

5．求自由度，确定P值，作结论

ν=（2-1）（2-1）=1，χ² _0.05_（1）=3.84,χ² _0.01_（1）=6.63,

本例χ²=4.929,χ² _0.05_（1）<χ² <χ² _0.01_（1），则0.05>P>0.01，在α=0.05水准处拒绝H₀，接受H₁，即两总体病死率不等，对照组病死率较抗凝血组高。

上例告诉我们，两个样本病死率一大一小，在未作检验之前，很难说它们两总体率是否有差别，为了作出正确判断，作X²检验。先假设两总体病死率相同，推算理论频数，由实际频数与理论频数计算χ²值，二者相差越大，χ²值也越大。本例得χ²=4.929，根据自由度为1时的χ²分布推断，从同一总体内抽样，出现χ²值等于或大于4.929的概率较小，每一百次中在5次以下，1次以上，因此检验假设被拒绝，而判断为有显著差别。

（二）连续性校正公式　χ²检验是以连续的光滑曲线做根据的，当自由度为1时，χ²检验所得的概率容易偏低，因些需要校正，校正后的χ²值比不校正的小一些，校正公式是：

（3.7）

公式中A-T前后两条直线是绝对值的符号。

将表3.5资料代入式（3.7）得：

检验两个率相差的显著性时（此时自由度为1），理论上都可用校正公式。但当用公式（3.5）求出的χ²值小于3.84时，相应的P值大于0.05，表示两个率相差不显著，校正后χ²值更小，仍得同样结构，就无须校正；当用未校正公式求出的χ²值远远超过3.84时，校正后的结论仍相同，在此种情况下也可不校正；当自由度为2及以上时，则不必校正。

当用公式（3.5）求出的χ²值略大于3.84时，校正最为必要，往往会改变原来的结论，举例如下。

例3.2表3.7是六六六粉的两种配方进行野外烟剂灭黄鼠实验的观察结果。

表3.7　六六六粉两种配方灭黄鼠的效果

	烟薰后鼠洞情况		合计(实验观察洞数)	灭洞率（%）
	未盗开	盗　开	合计(实验观察洞数)	灭洞率（%）
04号配方	13(16.63)	9(5.37)	22	59.1
05号配方	80(76.37)	21(24.63)	101	79.2
总计	93	30	123	75.6